Շրջանագծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունըՇրջանագիծն ու ուղիղը կարող են հատվել, կամ՝ ոչ: Հատվելիս նրանք կարող են ունենալ մեկ կամ երկու ընդհանուր կետեր:1. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից մեծ է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ընդհանուր կետեր չունեն:

2. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից փոքր է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն երկու ընդհանուր կետեր:

Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի հատող:Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի երկու ընդհանուր կետեր, ապա այն կոչվում է շրջանագծի հատող:3. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափող
Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:
Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:
Շրջանագծի շոշափողը ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

Ենթադրենք, թե OA շառավիղն ուղղահայաց չէ շոշափողին, այլ թեք է: Ապա, O կետից կարելի է տանել ուղղին ուղղահայաց, որը կլինի շառավղից փոքր: Սա նշանակում է, որ շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից ավելի փոքր է, քան շառավիղը, ուրեմն, շրջանագիծն ու ուղիղը պիտի ունենան երկու ընդհանուր կետեր: Սա հակասում է այն փաստին, որ ուղիղը շոշափող է: Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր:
Եթե միևնույն կետից շրջանագծին տարված են երկու շոշափողներ, ապա

ա) շոշափման կետերի հեռավորությունները տրված կետից հավասար են,

բ) շրջանագծի կենտրոնով և տրված կետով անցնող ուղիղը կիսում է շոշափողների կազմած անկյունը:
Օրինակ

Դիցուք AB -ն և AC -ն O կենտրոնով շրջանագծի շոշափողներն են: Պետք է ապացուցել, որ AB=AC և OA -ն A անկյան կիսորդն է:

OBA և OCA եռանկյուններն ուղղանկյուն են, քանի որ շոշափողները ուղղահայաց են շառավիղներին B և C կետերում: OAկողմն ընդհանուր է: OB և OC էջերը հավասար են, որպես նույն շրջանագծի շառավիղներ: Ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են, ըստ՝ ներքնաձիգի և էջի: Հետևաբար, հավասար են նաև մյուս էջերը՝ AB -ն և AC -ն, և BAO և CAOանկյունները: A անկյունը կիսվեց:

Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ
Եթե շրջանագծի վրա վերցնել երկու կետ, ապա շրջանագիծը կբաժանվի երկու աղեղների: Երկու աղեղների ծայրակետերն էլ A և B կետերն են, սակայն մեկը մյուսից երկար է:

Այդ երկու աղեղներն իրարից տարբերելու համար օգտագործում են նշանակման մի քանի ձև: Ձևերից մեկում օգտագործում են լատիներեն փոքրատառեր՝ ∪AnB: Նաև կարելի է շրջանագծի վրա վերցնել երրորդ միջանկյալ C կետը: Այն կպատկանի աղեղներից մեկին և չի պատկանի մյուսին: Այս դեպքում ∪ACB -ն նշանակում է այն աղեղը, որին պատկանում է C կետը:

Ցանկացած աղեղ ունի աստիճանային չափ: Մեր դիտարկած երկու աղեղների աստիճանային չափերի գումարը տալիս է լրիվ անկյան չափը՝ 360°: Եթե վերցված կետերը միացնող հատվածը տրամագիծ է, ապա աղեղն անվանում են կիսաշրջանագիծ: Կիսաշրջանագծի աստիճանային չափը 180° է:
Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ
Այն անկյունը, որի գագաթը շրջանագծի կենտրոնն է, կոչվում է կենտրոնային անկյուն:

Աղեղի աստիճանային չափը հավասար է համապատասխան կենտրոնային անկյան աստիճանային չափին՝ ∡AOB=∪AB
Այն անկյունը, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը շրջանագիծը հատում են, կոչվում է ներգծյալ անկյուն:

Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա նա հենվում է՝
∡ACB=12∪AB
1. Նույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունները հավասար են:

2. Կիսաշրջանագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը 90° է:

Շրջանագծի հատվող լարերի հատկությունը

Եթե շրջանագծի երկու լարեր հատվում են, ապա մի լարի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին:

Այս հատկությունն ապացուցվում է եռանկյունների նմանության գաղափարի օգնությամբ՝ ΔCKA∼ΔBKD: Այս գաղափարը կուսումնասիրենք հետագայում:

Նշենք, որ ապացույցի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ նշված եռանկյունների բոլոր երեք անկյունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ∡1 անկյունները նույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյուններ են, իսկ ∡2 անկյունները՝ հակադիր են:

Այսպիսով՝ AK⋅KB=CK⋅KD

Արտագծյալ շրջանագիծ
Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:
Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում:

Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:
Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ:
Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը):

Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը):

Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը):

Ներգծյալ շրջանագիծ
Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:
Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:
Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:
Բանաձևեր
Հավասարակողմ եռանկյուն
Հավասարակողմ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները և անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:
Ուշադրություն
Հետևաբար, հավասարակողմ եռանկյան արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են:
Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը

R=23h կամ R=a3√3, որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը:

Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը

r=13h կամ r=a3√6 որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը:

Հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը և կողմը կապված են հետևյալ բանաձևով՝ h=a3√2

Ուղղանկյուն եռանկյուն
Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը

R=12c, որտեղ c -ն ներքնաձիգն է:

Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը

r=SΔp, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:

Կամայական եռանկյուն

Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը

R=a⋅b⋅c4⋅SΔ

Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը

r=SΔp, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:

Քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ
Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:
Ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ, քանի որ՝ չորս անկյունների կիսորդները կարող են նույն կետում չհատվել:
Եթե քառանկյանը ներգծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝  a+c=b+d:

Քառանկյան յուրաքանչյուր կողմ ներկայացնենք երկու հատվածների գումարի տեսքով՝ AB=AK+KB, BC=BL+LC, CD=CM+MD, և AD=DN+NA: Քանի որ, նույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները հավասար են, ապա՝ AB+CD=BC+AD:

Այս հատկությունը կարելի է օգտագործել, որպես հայտանիշ, որի միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ:
Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, ապա այդ քառանկյունն ունի ներգծյալշրջանագիծ:
Ինքնուրույն պարզիր, թե ո՞ր քառանկյուններին (զուգահեռագիծ, այդ թվում նաև՝ քառակուսի, ուղղանկյուն, շեղանկյուն և սեղան, հավասարասրուն սեղան և ուղղանկյուն սեղան) կարելի է ներգծել շրջանագիծ:

Քառանկյան արտագծյալ շրջանագիծ
Եթե քառանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:
Ոչ բոլոր քառանկյունները ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ քառանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի քառանկյան բոլոր չորս գագաթներով:

Այս հարցը պարզվում է հետևյալ պնդման միջոցով:
Եթե քառանկյանը արտագծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

Քառանկյան բոլոր անկյունները շրջանագծի համար ներգծյալ անկյուններ են: Ուրեմն, դրանք հավասար են այն աղեղների կեսերին, որոնց վրա հենվում են: Հանդիպակաց անկյունները հենվում են երկու աղեղների վրա, որոնց միավորումը տալիս է ամբողջ շրջանագիծը՝ 360°: Կեսը կլինի 180°:

Այս հատկությունը կարելի է օգտագործել, որպես հայտանիշ, որի միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ:
Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:
Ինքնուրույն պարզիր, թե ո՞ր քառանկյուններին (զուգահեռագիծ, այդ թվում նաև՝ քառակուսի, ուղղանկյուն, շեղանկյուն, սեղան, հավասարասրուն սեղան և ուղղանկյուն սեղան) կարելի է արտագծել շրջանագիծ: