Դաս 8. Թեմա՝ Եռանկյան միջին գիծը

Տեսական նյութ

Սահամանում: Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ:

1.png

Թեորեմ:  Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար այդ կողմի կեսին:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք կամ կարող ես կարդալ դասագրքից, էջ՝ 11:

2.png

Առաջադրանքներ 

1) Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծեր են:

2) Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են 12մ և 16մ: Գտեք այն քառանկյան կողմերը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:

3) Նկարում EF-ը միջին գիծ է:Գտնել P BEF և P ABC:

4) Նկարում MN || AC: Գտնել P MBN և P ABC:

5) Քառանկյան անկյունագծերը հավասար են m-ի և n-ի: Գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:

m/2  +n/2+  n/2 + m/2= m+n

Երկրաչափություն. Դաս 6

Թեմա՝ ԶուգահեռագիծԱռաջադրանքներ Գ. Աղեկյանի գրքից,215-230:

3+2+4+3=12

360:12=30

30 . 3=90

30 . 2=60

30 . 4=120

30 . 3=90

90, 60, 120, 90

Զուգահեռագիծ

Քանի որ զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Ոչ

Պատասխան՝ 

360-180=180

Զուգահեռագիծ է

CD=6, AD=10

36

3 . 2=6

46-6=40

40:4=10

10+3=13

10, 13, 10, 13

360:2=180

180-40=140

40, 140

Քանի որ անկյունները խաչադիր են, ապա <A=<C; <B=<D  հակադիր անկյուններ են:

110+110=220

360-220=140

140:2=70

110, 70, 110, 70

360:2=180

180:3=60

60 . 2=120

60, 120, 60, 120

  • 12:2=6
  • 17:2=8,5

Պատ.՝ 8.5, 6:

Միջնագիծ է

Քանի որ <A=<C; <B=<D խաչադիր են, ապա <1=<2

360:4:2=450

Պարապունք 1․ Երկրաչափություն

Նոր ծանոթություն, կրկնողություն:

1. Գծիր՝ սուր անկյուն, ուղիղ անկյուն, բութ անկյուն, փռված անկյուն:

2. կից անկյուններ, հակադիր անկյուններ

3. սուրանկյուն եռանկյուն, բութանկյուն եռանկյուն, ուղղանկյուն եռանկյուն

4. զուգահեռ ուղիներ, հատվող ուղիներ:

Լեոնարդո դա Վինչի Ֆիբոնաչի

Բազմաթիվ պատմաբաններ և գիտնականներ Լեոնարդոյին համարում են «Բազմակողմանի հանճար» կամ «Վերածննդի ժամանակաշրջանի մարդ», «անսպառ հետաքրքրասիրության» և «եռանդուն ստեղծագործական երևակայության» տեր անհատ, և նա համարվում է երբևէ ապրած ամենատաղանդավոր անհատներից մեկը: Ըստ արվեստի պատմաբան Հելեն Գարդների՝ նրա հետաքրքրությունների մասշտաբը և խորությունը պատմության մեջ աննախադեպ էր, և «նրա խելքն ու անհատականությունը մեզ գերբնական են թվում, իսկ հենց ինքը՝ խորհրդային ու չշփվող»։ Մարկո Ռոշին նշում է, որ թեև նրա կյանքի և անհատականության մասին կան բազմաթիվ ենթադրություններ, նրա աշխարհայացքը տրամաբանական է, քան խորհրդավոր, նրա օգտագործած էմպիրիկ (փորձային) մեթոդները իր ժամանակի համար ավանդական չէին։

Լեոնարդոն ծնվել է նոտար Պիերո դա Վինչիի և մի գյուղացի կնոջ՝ Կատերինայի, արտամուսնական կապից, Ֆլորենցիայի Վինչի տարածաշրջանում: Նա կրթություն է ստացել նշանավոր ֆլորենտացի նկարիչ Անդրեա դել Վերոկիոյի ստուդիայում: Իր ստեղծագործական կյանքի մեծ մասն անց է կացրել Միլանում՝ Լյուդովիկո իլ Մորոյի մոտ աշխատելով: Հետագայում նա աշխատել է Հռոմում, Բոլոնյայում և Վենետիկում, իսկ իր կյանքի վերջին տարիներն անցկացրել է Ֆրանսիայում՝ Ֆրանսիայի Ֆրանցիսկոս Առաջինի կողմից իրեն նվիրած տանը:

Լեոնարդոն ինչպես նախկինում, այնպես էլ ներկայում, հիմնականում հայտնի է որպես նկարիչ: Նրա ամենահայտնի կտավը Մոնա Լիզան է, իսկ Խորհրդավոր ընթրիքը՝ բոլոր ժամանակների ամենաշատ կրկնօրինակված կրոնական նկարը: Լեոնարդոյի Վիտրուվյան մարդու նկարը նաև համարվում է մշակութային խորհրդանիշ՝ պատկերվելով տարբեր իրերի, ինչպես օրինակ եվրոյի մետաղադրամի, տետրերի և շապիկների վրա:

Լեոնարդոյի նկարներից Սալվատոր Մունդին 2017 թ. նոյեմբերի 15-ին, Նյու Յորքի Քրիստիս աճուրդում վաճառվել է ռեկորդային 450,3 միլիոն դոլարով, որը արվեստի ստեղծագործության համար վճարված ամենաբարձր արժեքն է: Ենթադրվում է, որ նրա նկարներից միայն 15-ն են պահպանվել: Կան 15 նշանավոր արվեստի գործեր, որոնք արվեստի շատ պատմաբանների կողմից ամբողջովին կամ մասամբ վերագրվում են Լեոնարդոյին: Այս թիվն ներառում է որմնանկար, մի մեծ նկար թղթի վրա և երկու աշխատանք, որոնք պատրաստման նախնական փուլում են: Կան մի շարք այլ աշխատանքներ, որ նույնպես վերագրվում են Լեոնարդոյին, այնուամենայնիվ, այդ մի քանի գործերը իր նոթատետրերի հետ միասին, որոնք պարունակում են գծագրեր, գիտական սխեմաներ և նկարչության էության մասին իր մտքերը, հետագա սերունդների նկարիչների համար մեծ ավանդ են հանդիսանում, որի հետ կարող է համեմատվել միայն իր ժամանակակից Միքելանջելոն:

Լեոնարդոն հիացմունքի է արժանի իր տեխնոլոգիական գյուտարարության համար: Նա նախագծել է թռչող մեքենաներ, մարտական մեքենայի մի տեսակ, արևային էներգիա ստանալու հարմարանք, գումարում կատարող սարք, և նավերի կառուցման կրկնակի կորպուս: Լեոնարդոյի գծագրերից շատ քչերն են կառուցվել կամ նույնիսկ իրատեսական եղել իր կյանքի ընթացքում, քանի որ ժամանակակից գիտական մոտեցումները մետալուրգիային և ճարտարագիտությանը սկիզբ են առել Վերածննդի դարաշրջանում միայն: Ինչևէ, նրա ավելի փոքր մասշտաբի գյուտերը, օրինակ, ավտոմատացված փամփուշտներն ու մետաղալարերի առաձգականության ուժը չափող սարքը անմիջապես մտան արդյունաբերության ոլորտ: Լեոնարդոյի ամենակիրառելի գյուտերից որոշներն այսօր ցուցադրվում են որպես աշխատող ցուցանմուշներ Վինչիի թանգարանում: Նա էական բացահայտումներ է կատարել անատոմիայի, քաղաքացիական ճարտարագիտության, երկրաբանության, օպտիկայի և հիդրոդինամիկայի ոլորտներում, բայց նա չի հրապարակել իր գյուտերը, ուստի դրանք անմիջական ազդեցություն չեն ունեցել հետագա գիտության վրա:

Ֆիբոնաչի

Լեոնարդո Պիզանո մոտ. 1170 կամ մոտ. 1175ՊիզաՏոսկանաԻտալիա — ոչ վաղ քան 1240ՊիզաՏոսկանաԻտալիա), միջնադարյան Եվրոպայի առաջին խոշոր մաթեմատիկոս։ Ավելի շատ հայտնի է Ֆիբոնաչի (Fibonacci) անունով։ Այս անվան ծագման պատմության շուրջ կան տարբեր վարկածներ։ Ըստ առաջինի, նրա հայրը՝ Գիլերմոն հայտնի էր Բոնաչի («անձնվեր») անունով, իսկ ինքը՝ Լեոնարդոն կոչվեց filius Bonacci (բառացիորեն թարգմանած «անձնվերի որդի»)։ Իսկ ըստ մյուս վարկածի Fibonacci-ն ծագում է Figlio Buono Nato Ci արտահայտությունից, որը թարգմանաբար նշանակում է «ծնողին արժանի զավակ»։

Ֆիբոնաչիի արձանը Պիզայում

Ֆիբոնաչիի հայրը առևտրական հարցերով հաճախ էր լինում Ալժիրում, և Լեոնարդոն այնտեղ մաթեմատիկա էր ուսումնասիրում արաբ ուսուցիչների մոտ։ Ավելի ուշ նա եղավ Եգիպտոսում, Սիրիայում, Սիցիլիայում։ Լեոնարդոն ուսումնասիրում էր իսլամական երկրների մաթեմատիկոսների աշխատանքները։ Նա նաև ծանոթացել էր անտիկ դարաշրջանի և հնդիկ մաթեմատիկոսների ձեռքբերումներին։ Ձեռք բերված գիտելիքների հիման վրա Ֆիբոնաչին գրեց մի շարք գիտական աշխատություններ, որոնք շատ մեծ ձեռքբերումներ էին համարվում միջնադարյան Եվրոպայի գիտության մեջ։ XIX դարում Պիզայում գիտնականի պատվին տեղադրվեց արձան։

Ֆիբոնաչիի թվեր

Գիտնականի պատվին անվանվել է թվային շարք, որում ամեն հաջորդ թիվ հավասար է նախորդ երկուսի գումարին։ Այս թվային հաջորդականությունը կրում է Ֆիբոնաչիի թվեր անվանումը։

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …

Այս շարքը հայտնի էր դեռ հին Հնդկաստանում, Ֆիբոնաչիից շատ առաջ։ Այս անվանումը շարքը ստացել է ի շնորհիվ Ֆիբոնաչիի կատարած ուսումնասիրությունների այդ թվերի շուրջ «Հաշվիչի գիրք» աշխատությունում։

 

Պարապմունք 13. Ապրիլի 6-12 Հարցերի քննարկում, կրկնողություն:

Թեմա՝ Ուղղանկյուն եռանկյան  հատկությունները:

Ուսումնասիրեք ուղղանկյուն եռանկյան մի քանի  կարևոր հատկություններ:

Հատկություն 1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 900:

1.png

Իրոք, դա շատ հեշտ է ապացուցել, քանի որ եռանկյան երեք անկյունների գումարը 1800, իսկ ուղղանկյուն եռանկյան մի անկյունը 900 է, հետևաբար, մյուս երկու սուր անկյունների գումարը նույնպես կլինի 900:

Հատկություն 2. Ուղղանկյուն եռանկյան 300-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

2.png

Հատկություն 3. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին, ապա այդ էջի հանդիպակաց անկյունը 300 է:

3.png

Առաջադրանքներ:

1)Տրված է ABC  C ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն, որտեղ՝ <A=370: Գտնել <B-ն:

43*

2) ABC-ն A ուղիղ անկյունով հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է/այսինքն էջերը հավասար են/: Գտեք մյուս անկյունները:

45,45

3)  CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք <ECF-ը, եթե <D=540:

27

4) Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 5 է, իսկ ներքնաձիգը՝ 10 :  Գտեք բոլոր անկյունները:

5) ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց՝ DM-ը: Գտեք AM-ը, եթե AB=12սմ:

Հուշում<MDC=30^0, MC-ն գտնելու համար օգտվիր ուղղանկյուն եռանկյան երկրորդ հատկությունից:

9

Ուղղանկյուն եռանկյան 300-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

6) A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել <B-ն:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիքի կեսին հավասար էջի դիմացի անկյունը 30^0է։

Հետևաբար <B-ն=60^0

7) Նկարում <C=900, PC=MC, CA=8սմ: Գտնել MP-ն:

16

8) Ուղղանկյուն եռանկյան մի անկյունը 700 է: Գտեք բոլոր անկյունները:

70+90=160, 180-160=20^0

9) Ուղղանկյուն եռանկյան A անկյունը 60^0 է, իսկ AC=22 : Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը:

22*2=44

»My future profession»

All teenagers are thinking about their future. As for me, I want to be a programmer-graphic designer. I want to do programming and maybe create my own game. I like everything related to the computer, so I decided to choose this profession. I hope you were interested in my profession. I would also like to know about your professions.

Երկրաչափություն

1) Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե <A:<B:<C=2:3:4
2+3+4=9
180°:9=20
20*2=40 (A)
20*3=60 (B)
20*4=80 (C)

2) Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը.

Քանի որ հիմքը (AK հատվածը) պետք է լինի 180°`
180°-120°=60° (C)
AM հատվածը նույնպես պետք է լինի 180°`
180°-87°=93° (B)
Իսկ քանի որ եռանկյան անկյունների գումարը պետք է լինի 180° նույնպես՝
60°+93°=153°
180°-153°=27° (A)

3) Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը.

35°+45°=80°
180°-80°=100° (C)

4) Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը.

Քանի որ DK-ն (70°) A-ի հակադիր անկյունն է, ուրեմն A-ն նույնպես 70° է։
70°+64°=134°
180°-134°=46° (C)

5) Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը.

BP=180°
180°-110°=70° (C)
C(70°)+B(40°)=110°
A=180°-110°=70°
A-ն հակադիր է ∟DK՝ 70°
∟DK=70°

6) Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը.

45 40

7) Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը, եթե AK-ն A գագաթից տարված կիսորդ է:

110°+35°=145°
180°-145°=35° (∆AKC-ին պատկանող A-ն)
Քանի որ C? հատվածը (C-ի և ?-ի միջև ընկած տարածքը) պետք է լինի 180°, ուրեմն՝
180-110=70°(∆A?K-ին պատկանող K-ն)
Քանի որ AK-ն А գագաթից է տարված, ուրեմն A անկյունը բաժանվել է երկու հավասար մասերի, այսինքն՝
A?K-ին պատկանող A-ն նույնպես հավասար է 35°
70°+35°=105°
180°-105°=?=95°

Երկաչափություն

Առաջադրանքներ:

1) Գտնել եռանկյան անկյունները

ա)Գտիր հավասարակողմ եռանկյան  անկյունները:

z

<A, <B, <C

բ) Գտիր հավասարասրուն եռանկյան անկյունները:/Հիշի՛ր՝ հիմքին առընթեր անկյունները իրար հավասար են:

g

A=70

B=70

C=30

գ)Ըստ նկարի գտիր եռանկյան անկյունները:

v

B=100

A=100

C=200

դ) Գտիր հարցականը:

u

B=80

A=80

C=40

ե)Գտիր հարցականը:

q

Երկրաչափություն Մարտր-5

1.Քառակուսու կողմը 6 սմ է, անկյունագծերը քառակուսին բաժանում են 4 հավասար եռանկյունների, գտեք յուրաքանչյուր եռանկյան  մակերեսը: 

6×6:4=9

2.  Գտեք նկարում տրված մեծ ուղղանկյան մակերեսը, եթե հայտնի է, որ փոքր ուղղանկյան պարագիծը 60 է:

60:12=5

6 x 5=30

20 x 30=600

3.  Մեծ ուղղանկյունից ABCD ուղղանկյունը կտրելուց հետո նրա պարագիծը մեծացավ 6-ով, իսկ մակերեսը փոքրացավ 6-ով։ Ինչի՞ է հավասար AB հատվածի երկարությունը:

AD+BC=6

AD=BC=6:2=3

ABxAD=6

AB=6:3

AB=2

4. Եռանկյան պարագիծը 62 սմ է: Նրա կողմերից մեկը 26 սմ է: Մյուս երկու կողմերից մեկը մյուսից փոքր է 3 անգամ: Գտեք եռանկյան մյուս կողմերի երկարությունները:

62 – 26 = 36
36 : 3 = 12
12 : 3 = 4